Doğru cevap:

• Otobüslerin duraktan geçiş saatlerini 07.00'ye 12'nin katları kadar dakika ekleyerek belirleme: 07.00, 07.12, 07.24, 07.36, 07.48, ... (4 puan; 12'nin 40'tan büyük ilk katının 48 olduğunu belirtmek de kabul edilir; geçiş saatlerinden biri eksik ya da hatalıysa 2 puan)
• 07.40'tan sonra duraktan geçen ilk otobüsün saat 07.48'de geçtiğini belirleme (3 puan)
• Bekleme süresini 48 − 40 = 8 dakika olarak bulma (3 puan)

Örnek doğru cevap: İlk otobüs 07.00'de geçtiği ve otobüsler 12 dakikada bir geçtiği için otobüsler 07.00'den sonra 12'nin katları kadar dakika geçince duraktan geçer. 12'nin katları 12, 24, 36, 48, 60, ... olduğundan otobüsler 07.12, 07.24, 07.36, 07.48, 08.00, ... saatlerinde geçer. Elif 07.40'ta geldiği için 07.36'daki otobüsü kaçırmıştır. Binebileceği ilk otobüs duraktan saat 07.48'de geçer. Elif durakta 48 − 40 = 8 dakika bekler.

Yanlış cevap: 07.40'a 12 dakika ekleyerek ilk otobüsün 07.52'de geçtiğini söylemek; Elif'in 07.36'daki otobüse binebileceğini söylemek; bekleme süresini 12 dakika ya da 4 dakika olarak bulmak; geçiş saatlerini 12'nin katlarını kullanmadan rastgele yazmak puan almaz. Cevap verilmemesi durumunda 0 puan verilir.

Doğru cevap:

2.1. (5 puan)

• 16'nın çarpanlarını 1, 2, 4, 8 ve 16 olarak yazma (4 puan; bir çarpan eksik ya da fazla yazılırsa 2 puan)
• 16'nın çarpan sayısını 5 olarak belirleme (1 puan)

2.2. (10 puan)

• 1. ve 2. şekillerde çarpanların ikişer ikişer eşleştiğini (1 ile 16, 2 ile 8), 3. şekilde ise 4'ün kendisiyle eşleştiğini ve çarpanlar arasında bir kez yazıldığını belirtme (4 puan)
• Bu nedenle 16'nın çarpan sayısının 5, yani tek sayı olduğunu ve Kaan'ın ifadesinin her zaman doğru olmadığını belirtme (2 puan)
• Çarpan sayısı tek olan, 16'dan farklı bir doğal sayı yazma, ör. 1, 4, 9, 25, 36, 49, 64, 81, 100 (2 puan)
• Yazdığı sayının çarpanlarını doğru belirleme, ör. 9'un çarpanları 1, 3, 9; 36'nın çarpanları 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 (2 puan)

Not: Çarpan sayısı tek olan doğal sayılar, bir doğal sayının kendisiyle çarpımı biçiminde yazılabilen sayılardır (1, 4, 9, 16, 25, ...). Bu sayılarla oluşturulan şekillerden biri karedir. Öğrencinin bu genellemeyi yapması beklenmez.

Örnek doğru cevap:

2.1. 16 = 1 × 16 = 2 × 8 = 4 × 4 olduğundan 16'nın çarpanları 1, 2, 4, 8 ve 16'dır. 16'nın 5 çarpanı vardır.

2.2. 1. şekilde 1 ile 16, 2. şekilde 2 ile 8 çarpanları ikişer ikişer eşleşmiştir. 3. şekil bir karedir; bu şekilde 4 çarpanı kendisiyle eşleşmiştir ve çarpanlar yazılırken 4 bir kez yazılır. Bu yüzden 16'nın çarpan sayısı 5'tir, yani tek sayıdır. Kaan'ın ifadesi her zaman doğru değildir. Örneğin 9 = 1 × 9 = 3 × 3 olduğundan 9'un çarpanları 1, 3 ve 9'dur. 9'un çarpan sayısı 3'tür ve 3 tek sayıdır.

Yanlış cevap: 16'nın çarpanlarını 1, 2, 4, 4, 8, 16 diye 4'ü iki kez yazarak 6 çarpan bulmak ya da 4'ü hiç yazmamak; Kaan'ın haklı olduğunu söylemek; çarpan sayısı tek olan sayı örneği olarak 7 (çarpanları 1 ve 7) ya da 15 (çarpanları 1, 3, 5 ve 15) gibi çarpan sayısı çift olan bir tek sayı yazmak puan almaz. Cevap verilmemesi durumunda 0 puan verilir.

Doğru cevap:

• Bir sayının 6 ile kalansız bölünebilmesi için hem 2 hem de 3 ile kalansız bölünmesi gerektiğini belirtme (2 puan)
• Her gün için 2 ile bölünebilmeyi (birler basamağı) ve 3 ile bölünebilmeyi (rakamlar toplamı) inceleyerek doğru karar verme (her gün için 1 puan, toplam 5 puan):
  • Pazartesi 438: birler basamağı 8 (çift), 4 + 3 + 8 = 15 (3'ün katı) → 6 ile bölünür.
  • Salı 446: birler basamağı 6 (çift) ama 4 + 4 + 6 = 14 (3'ün katı değil) → 6 ile bölünmez.
  • Çarşamba 453: 4 + 5 + 3 = 12 (3'ün katı) ama birler basamağı 3 (tek) → 6 ile bölünmez.
  • Perşembe 432: birler basamağı 2 (çift), 4 + 3 + 2 = 9 (3'ün katı) → 6 ile bölünür.
  • Cuma 427: birler basamağı 7 (tek), 4 + 2 + 7 = 13 (3'ün katı değil) → 6 ile bölünmez.
• Sonucu Pazartesi ve Perşembe olarak belirtme (3 puan; günlerden yalnızca biri doğru belirtilirse 1 puan)

Örnek doğru cevap: Yumurtaların 6'lı kutulara hiç artmadan yerleşmesi için yumurta sayısı 6 ile kalansız bölünmelidir. Bir sayı hem 2 hem de 3 ile kalansız bölünüyorsa 6 ile de kalansız bölünür. 438'in birler basamağı çift ve rakamları toplamı 15 olduğu için 438, 6 ile bölünür. 446 çifttir ama rakamları toplamı 14 olduğu için 3 ile bölünmez. 453'ün rakamları toplamı 12'dir ama 453 tek sayı olduğu için 2 ile bölünmez. 432 çifttir ve rakamları toplamı 9 olduğu için 6 ile bölünür. 427 tek sayıdır, 2 ile bölünmez. Yumurtaların tamamı Pazartesi ve Perşembe günleri 6'lı kutulara hiç artmadan yerleştirilebilir.

Yanlış cevap: Yalnızca 2 ile bölünebilmeye bakarak Salı gününü de yazmak; yalnızca 3 ile bölünebilmeye bakarak Çarşamba gününü de yazmak; gerekçe göstermeden yalnızca gün adlarını yazmak ölçütlerden tam puan almaz (bu durumda yalnızca sonuç ölçütünden puan verilir). Cevap verilmemesi durumunda 0 puan verilir.

Doğru cevap:

• 5 ile kalansız bölünebilmesi için sayının birler basamağının (3. rakamın) 0 ya da 5 olması gerektiğini belirtme (4 puan)
• 9 ile kalansız bölünebilmesi için rakamlar toplamının 9'un katı olması gerektiğini kullanarak iki durumu inceleme (5 puan):
  • 3. rakam 0 ise 7 + □ + 0 toplamı 9'un katı olmalıdır; □ = 2 olur (toplam 9). Toplamın 18 olması için □ = 11 gerekir, bu bir rakam değildir.
  • 3. rakam 5 ise 7 + □ + 5 toplamı 9'un katı olmalıdır; □ = 6 olur (toplam 18). Toplamın 27 olması için □ = 15 gerekir, bu bir rakam değildir.
• Deneyebileceği şifreleri 720 ve 765 olarak bulma (her biri 2 puan, toplam 4 puan)
• Başka şifre olmadığı için kilidin en fazla 2 denemede açılacağını belirtme (2 puan)

Örnek doğru cevap: Şifre 5 ile kalansız bölündüğüne göre birler basamağındaki rakam 0 ya da 5'tir. Şifre 9 ile de kalansız bölündüğüne göre rakamlarının toplamı 9'un katıdır. Birler basamağı 0 ise 7 + □ + 0 toplamı 9 ya da 18 olabilir. Toplam 9 olursa □ = 2'dir; toplam 18 olursa □ = 11 olur, bu bir rakam değildir. Bu durumda şifre 720'dir. Birler basamağı 5 ise 7 + □ + 5 toplamı 18 ya da 27 olabilir. Toplam 18 olursa □ = 6'dır; toplam 27 olursa □ = 15 olur, bu bir rakam değildir. Bu durumda şifre 765'tir. Can 720 ve 765 şifrelerini deneyebilir. Başka şifre olmadığı için Can kilidi en fazla 2 denemede açar.

Yanlış cevap: Yalnızca 5 ile bölünebilmeyi kullanarak 700, 705, 710, ... gibi şifreleri yazmak; yalnızca 9 ile bölünebilmeyi kullanarak 702, 711, 720, ... gibi şifreleri yazmak; şifrelerden yalnızca birini bulup kilidin 1 denemede açılacağını söylemek; 7 + □ + 0 = 18 eşitliğinden □ = 11 bulup 7110 gibi dört basamaklı bir şifre yazmak ilgili ölçütlerden puan almaz. Cevap verilmemesi durumunda 0 puan verilir.

Doğru cevap:

• 91'in 2, 3 ve 5 ile kalansız bölünmediğini, 7 ile kalansız bölündüğünü belirleyerek 91'i çarpan ağacı ya da asal çarpan algoritması ile 91 = 7 × 13 biçiminde ayırma (5 puan; yöntem gösterilmeden yalnızca 91 = 7 × 13 yazılırsa 3 puan)
• 7 ve 13'ün asal sayı olduğunu, 91'in asal çarpanlarının 7 ve 13 olduğunu belirtme (2 puan)
• 91'in 1 ve kendisinden başka çarpanları da (7 ve 13) olduğu için asal sayı olmadığını, Bora'nın söylediklerinin yanlış olduğunu ve 91'in iki farklı asal sayının çarpımı olduğu için anahtar sayı olabileceğini açıklama (3 puan)

Örnek doğru cevap: 91 tek sayı olduğu için 2 ile bölünmez. Rakamları toplamı 10 olduğu için 3 ile, birler basamağı 1 olduğu için 5 ile bölünmez. 91 ÷ 7 = 13 olduğu için 91, 7 ile kalansız bölünür. Asal çarpan algoritması aşağıdaki gibidir:

Buna göre 91 = 7 × 13'tür ve 91'in asal çarpanları 7 ve 13'tür. 91'in çarpanları 1, 7, 13 ve 91 olduğu için 91 asal sayı değildir. Bora'nın söyledikleri yanlıştır. 91, iki farklı asal sayının (7 ve 13) çarpımı olduğu için anahtar sayı olabilir.

Yanlış cevap: "91 asal sayıdır, Bora haklıdır." demek; 91'i 9 × 10 + 1 ya da 90 + 1 biçiminde yazıp asal çarpan bulmaya çalışmak; 91 = 7 × 13 yazıp asal çarpanları 1, 7, 13 olarak belirtmek (1 asal sayı değildir) ilgili ölçütlerden puan almaz. Cevap verilmemesi durumunda 0 puan verilir.

Doğru cevap:

6.1. (9 puan)

• Takvimdeki asal sayıları 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 ve 29 olarak belirleme (4 puan; bir sayı eksik ya da fazla yazılırsa 2 puan, daha fazla hata varsa 0 puan)
• Okulun kapalı olduğu asal sayılı günleri eleme: 7 Kasım (Cumartesi) ve 29 Kasım (Pazar) hafta sonu, 17 ve 19 Kasım ara tatil (3 puan; bu dört günden biri elenmezse 1 puan)
• Kitap tanıtımı yapılacak günleri 2, 3, 5, 11, 13 ve 23 Kasım olarak, tanıtım sayısını 6 olarak bulma (2 puan)

6.2. (6 puan)

• Arda'nın söylediklerinin yanlış olduğunu belirtme (2 puan)
• 2'nin çift sayı olduğu hâlde yalnızca iki çarpanı (1 ve 2) olduğu için asal sayı olduğunu, takvimdeki 2 Kasım'ın asal sayılı bir gün olduğunu açıklama; 2'den büyük çift sayıların ise 1 ve kendilerinden başka 2'ye de bölündüğü için asal olmadığını belirtme (4 puan)

Örnek doğru cevap:

6.1. Takvimdeki asal sayılar 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 ve 29'dur. 1 asal sayı değildir, çünkü yalnızca bir çarpanı vardır. 7 Kasım Cumartesi, 29 Kasım Pazar günüdür; 17 ve 19 Kasım ise ara tatildedir. Bu günlerde okul kapalı olduğu için tanıtım yapılmaz. Kitap tanıtımı 2, 3, 5, 11, 13 ve 23 Kasım günlerinde yapılır. Kulüp Kasım ayında 6 kitap tanıtır.

6.2. Arda'nın söyledikleri yanlıştır. 2 çift bir sayıdır ama yalnızca 1 ve 2 olmak üzere iki çarpanı vardır, bu yüzden asal sayıdır. Takvimdeki 2 Kasım asal sayılı bir gündür. 4, 6, 8 gibi 2'den büyük çift sayılar ise 1 ve kendilerinden başka 2'ye de bölündüğü için asal değildir. 2, tek çift asal sayıdır.

Yanlış cevap: 1'i asal sayı olarak kabul etmek; 9, 15, 21, 25 ve 27 gibi tek ama asal olmayan sayıları asal sayı olarak yazmak; hafta sonuna ya da ara tatile denk gelen 7, 17, 19 ve 29 Kasım'ı tanıtım günlerine eklemek; Arda'nın haklı olduğunu söylemek ya da 2'nin asal olmadığını ileri sürmek ilgili ölçütlerden puan almaz. Cevap verilmemesi durumunda 0 puan verilir.

Doğru cevap:

• 24'ün bölenlerini 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 olarak yazma (3 puan)
• 36'nın bölenlerini 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 olarak yazma (3 puan)
• Bir sıradaki fidan sayısının 24 ile 36'nın ortak böleni olması gerektiğini belirterek ortak bölenleri 1, 2, 3, 4, 6, 12 olarak bulma (2 puan)
• En az 3, en fazla 10 koşuluna uyan ortak bölenleri 3, 4 ve 6 olarak belirleme (2 puan)

Örnek doğru cevap: Hiç fidan artmaması ve her sırada eşit sayıda fidan olması için bir sıradaki fidan sayısı hem 24'ü hem de 36'yı kalansız bölmelidir. 24'ün bölenleri: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. 36'nın bölenleri: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36. 24 ile 36'nın ortak bölenleri 1, 2, 3, 4, 6 ve 12'dir. Bir sıraya en az 3, en fazla 10 fidan dikilebildiği için bir sıradaki fidan sayısı 3, 4 ya da 6 olabilir. (Örneğin her sırada 6 fidan olursa 4 sıra ıhlamur, 6 sıra çam dikilir.)

Yanlış cevap: Yalnızca 24'ün ya da yalnızca 36'nın bölenlerini kullanarak 8, 9 gibi sayıları yazmak; 24 ile 36'nın ortak katlarını (72, 144, ...) bulmak; koşulu dikkate almadan 1, 2 ya da 12'yi de cevaba eklemek; yalnızca en büyük ortak bölen olan 12'yi yazmak ilgili ölçütlerden puan almaz. Cevap verilmemesi durumunda 0 puan verilir.

Doğru cevap:

8.1. (5 puan)

• Denk gelinen yılların hem 12'nin hem de 4'ün katı olması gerektiğini, 12 de 4'ün katı olduğu için 12'nin her katının 4'ün de katı olduğunu belirtme (2 puan)
• İlk 50 yılda denk gelinen yılları 12, 24, 36 ve 48 olarak bulma (2 puan)
• Böceklerin avcılarla 4 kez aynı yıla denk geleceğini belirtme (1 puan)

8.2. (6 puan)

• 13'ün katlarını (13, 26, 39, 52, ...) ve 4'ün katlarını (4, 8, 12, ..., 48, 52, ...) yazma ya da 13'ün katlarının 4 ile bölünüp bölünmediğini inceleme (3 puan)
• 13, 26 ve 39'un 4'ün katı olmadığını, 13 ile 4'ün ortak katlarının en küçüğünün 52 olduğunu belirleme (2 puan)
• İlk kez 52. yılda aynı yıla denk geldiklerini belirtme (1 puan)

8.3. (4 puan)

• İki durumu karşılaştırma: 12 yılda bir çıksalar ilk 50 yılda 4 kez, 13 yılda bir çıktıklarında ise ilk 50 yılda hiç denk gelmediklerini, ilk karşılaşmanın 52. yılda olduğunu belirtme (2 puan)
• Böceklerin avcılarla daha seyrek karşılaşacağını, bu yüzden daha az avlanıp daha fazla böceğin hayatta kalabileceğini yorumlama (2 puan)

Örnek doğru cevap:

8.1. Böcekler ile avcılar hem 12'nin hem de 4'ün katı olan yıllarda aynı yıla denk gelir. 12, 4'ün katı olduğu için 12'nin her katı 4'ün de katıdır. İlk 50 yılda 12'nin katları 12, 24, 36 ve 48'dir. Böcekler avcılarla 4 kez aynı yıla denk gelirdi.

8.2. 13'ün katları 13, 26, 39, 52, ... ve 4'ün katları 4, 8, 12, ..., 48, 52, ... biçimindedir. 13, 26 ve 39, 4'ün katı değildir. 52 = 4 × 13 olduğu için 52 hem 13'ün hem 4'ün katıdır. 13 yılda bir çıkan böcekler avcılarla ilk kez 52. yılda aynı yıla denk gelir.

8.3. Böcekler 12 yılda bir çıksaydı her çıkışlarında avcılarla karşılaşır, ilk 50 yılda 4 kez denk gelirlerdi. 13 yılda bir çıktıklarında ise ilk 50 yılda avcılarla hiç denk gelmezler; ilk kez 52. yılda denk gelirler. Böylece avcılarla daha seyrek karşılaşırlar, daha az avlanırlar ve daha fazla böcek hayatta kalır.

Yanlış cevap: 8.1'de 12 × 4 = 48 hesaplayıp yalnızca 48. yılı bularak 1 kez denk geleceklerini söylemek ya da 0. yılı da sayarak 5 kez bulmak; 8.2'de 13 + 4 = 17 ya da 26. yıl gibi yalnızca bir sayının katı olan yılları cevap olarak yazmak; 8.3'te karşılaştırma yapmadan "13 büyük bir sayıdır." gibi gerekçeler yazmak ilgili ölçütlerden puan almaz. Cevap verilmemesi durumunda 0 puan verilir.